抓“不变量”解应用题

钟明英

寓言“朝三暮四”是同学们很熟悉的一个古代典故：宋国有个人养了一大群猴子。他对猴子们很好，猴子们生活得也很快乐。可是，天长日久，喂猴子的粮食不够了，这位宋人想限制猴子们的食量，便向猴群宣布：“以后给你们吃的橡子，早上三粒，晚上四粒，好不好？”猴子们听了都表示不满，在下面大声抗议。宋人见状，略停顿一下，改口说：“好吧，那就早上四粒，晚上三粒，这总该够了吧？”于是所有的猴子都兴高采烈了，纷纷表示满意。

后来人们常用成语“朝三暮四”来形容那些经常变卦、反复无常的言行。其实，与其说故事中的养猴子人变化无常，不如说他是在“以不变应万变”，想出了一个既限制猴子食量又不得罪猴子的好办法。

在小学数学学习中，有些数学题数量关系复杂多变，难以顺利解答，但题中往往也有某种数量始终没有变化，此时，我们也不妨“以不变应万变”，紧紧抓住这个不变量去思考，找到解决复杂问题的突破口，从而化繁为简，化难为易，使问题迎刃而解。      

例1：有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现又拿来10本书放到上层,这时上层与下层的比是15:16,求原来上、下层各有多少本?

这道题中,由于从外面拿10本书放到上层,上层的数量发生了变化,而下层本数不变,可把下层本数看成单位“1”,抓住部分量不变,根据原来上层与下层书的数量比是7:8,知上层本数占下层的7/8,放入10本后,上层本数占下层的15/16,也就是下层的(15/16-7/8)是10本,列式:10÷(15/16-7/8)=160本,160本为原下层的本数,上层为160/8×7=140本。

例2：有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从下层拿10本给上层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?

这道题与例1不同,上下层都发生了变化,但总数量不变,可把总数量看作单位“1”,抓住总数量不变,根据上层与下层的数量比是7:8知上层占总数的7/15,又根据上层与下层的数量比是8:7，知上层占总数的8/15,列式:10÷(8/15-7/15)=150（本）,150本为总数量,150÷(7+8)=10（本）7×10=70（本），70本为原上层的本数,8×10=80（本），80本为原下层的本数。

例3：有一个书架,上层与下层的数量比是7:8,上、下层同时都拿走10本后,剩下上层与下层本数的比是13:15,求原来上、下层各有多少本?

这道题与例1、例2又不同了,上下层都发生了变化,但它们的差不变,可把它们的差看作单位“1”,抓住相差量不变,根据上层与下层的数量比是7:8，知上层占差的7/1,又根据上层与下层的数量比是13:15，知上层占差的13/2,列式:10÷(7/1-13/2)=20本,20÷(8-7)=20本, 20×7=140（本）, 20×8=160（本）。

例4：育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。问又转入多少名女生？

这道题中,据六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，知女生有56×3/7=24（人），由于女生后来人数发生了变化，而男生人数一直没有变化，抓住不变量男生人数，男生人数为56-24=32（人），据又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29，知男生人数占后来全班人数的（1-13/29）=16/29，后来全班人数为32÷（1-13/29）=58（人），58-56=2（人），得出又转入女生2人。

列式：56×3/7=24（人），56-24=32（人），1-13/29=16/29，

32÷（1-13/29）=58（人），58-56=2（人）

在解有些较复杂的应用题时,学生常常被变化多端的变量弄得眼花缭乱,无从下手。但实际上,只要引导学生在分析研究数量关系时积极寻求并把握其不变量,“以不变应万变”,就不难得出问题的多种解答方法。